如图，O,D,E,F是三角形ABC外接圆上的点，证明O是三角形DEF的重心，即BE,FC,AD分别是三角形的中线

你的翻译有误，incentre是内心，escribed centre是旁切中心，orthocentre是垂心。原题的意思是：O是△ABC内心，D、E、F是△ABC旁切圆的圆心，证明O是△ABC的垂心。

如图，由于E、F是旁切圆的圆心，故EF是∠BAC外角的平分线，∴∠1=∠2

∵O是内心，故AO是∠BAC的平分线，∴∠3=∠4

由于∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即2(∠2+∠3)=180°，∴∠2+∠3=90°，即OA⊥EF

同理可证明OB⊥DF，于是O是△ABC的垂心。

∵△ABD是等边三角形（已知） ∴AB=BC，∠B=∠C=60°（等边三角形的意义） ∵AD=BE（已知） ∴BA-AD=BC-BE 即BE=CE（等式性质）又∵∠DEF+∠FEC=∠BDE+∠B（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和） 且∠DEF=∠B=60°（已知） 所以∠FEC=∠BDE（等量代换） 在△BEE和△FEC中， ∠FEC=∠BDE BD=CE ∠B=∠C ∴∠DBE≌△EFC（A.S.A） 所以BE=FC（全等三角形的对应角相等） 得AD=CF（等量代换）

首先一点，没看到图，所以以下仅做参考：
因为△ABC≌△DEF，∴AB=DE，且ADBE在同一条直线上。
因为AD=AB+BD，BE=DE+BD，又AB=DE,∴AB+BD=DE+BD，∴AD=BE。
如果D在AB之内，则是AD=AB-BD，BE=DE-BD，又AB=DE,∴AB-BD=DE-BD，∴AD=BE。

13943749657：如图,O,D,E,F是三角形ABC外接圆上的点,证明O是三角形DEF的重心,即BE,A...
葛和答：O是△ABC内心，D、E、F是△ABC的三个旁心，求证O是△DEF的垂心。证明：先看上图，是一个半角模型，△ABC，如果BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的外角平分线 那么有∠D=½∠A 理由：∠2=½∠ACE=½(∠A+∠ACB)=½∠A+½∠ABC 同时∠2=∠D+∠1, ∠1=½...

13943749657：如图,圆O是三角形ABC的内切圆,D,E,F是切点,AB=4,BC=5,设BE为X,用含X...
葛和答：在三顶点分别向三条边做 垂线 交于一点o圆心 由于def分别是 切点 ，所以作垂线必为垂点 AB^2=BE^2+AE^2 推出AE^2=16-X^2 EC=5-X AC^2=AE^2+EC^2 堆出AE=根号41-10X 希望采纳，纯手工打的字。

13943749657：如图,圆O石三角形ABC内切圆,D、E、F是切点,已知AB=4,BC=5,AC=6,则CD...
葛和答：若D在AB上 E在AC上 F在BC上 设o为内心 由内切知 AD=x=AE CE=CF=y BF=BD=Z 则 x+y=4 y+z=6 x+z=5 则 x=1.5 y=2.5 z=3.5 2*AB*AC cos∠A=AB^2+AC^2-BC^2 2AD*AC*cosA=AD^2+AC^2-CD^2 因此可得出CD值 （自己...

13943749657：...EF平行于AC,∠1=∠2,试说明CE是三角形ABC的
葛和答：判定法：1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

13943749657：已知,如图D,E,F分别是三角形ABC的边BC,AB,AC的中点,AD与EF相交于点O...
葛和答：EF是三角形ABC中位线 EF平行BC 而:AO=OD 所以:AE=EB=AB/2 EO=BD/2=(1/4)BC 三角形PEO相似于三角形PBC PE/PB=EO/BC=1/4 PE/(PB-PE)=1/(4-1)PE=(1/3)(PB-PE)=(1/3)EB=(1/6)AB AP=AE-PE=(1/2)AB-(1/6)AB=(1/3)AB AB=3AP ...

13943749657：如图d e f分别是三角形abc的ab,ac,bc边上的点,de平行BC,DF//AC.求证...
葛和答：证明：因为DE平行BC 所以角ABC=角ADE，角AED=角ACB 又因为有公共角A 所以三角形ADE相似于三角形ABC 施主，我看你骨骼清奇，器宇轩昂,且有慧根,乃是万中无一的武林奇才.潜心修习,将来必成大器，鄙人有个小小的考验请点击在下答案旁的 "选为满意答案"...

13943749657：如图,D,E,F分别是三角形ABC的三条边上的点,CE=BF,三角形DCE和三角形...
葛和答：作DG⊥AC, DH⊥AB △DCE和△DBF面积相等，即DG×CE=DH×BF CE=BF ∴DG=DH 在直角三角形ADG和直角三角形ADH中，AD=AD,DG=DH ∴直角三角形ADG和直角三角形全等，∴∠DAC=∠DAB 即AD平分∠BAC

13943749657：如图①,点D、E、F分别是等边三角形ABC三边的中点,这时△ABC被分割成...
葛和答：∵O是正△ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，∴AD＝BE＝CF，∴ABED、BCFE、CADF都是等腰梯形。∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，∴由三角形中位线定理，有：DE＝AB/2、EF＝BC/2、FD＝CA/2。又△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝CA，∴DE＝EF＝FD。由AB＝BC＝CA、DE＝EF＝FD、AD＝BE＝CF，得：...

13943749657：如图,圆O是三角形ABC的内切圆,D、E、F分别是切点,判定三角形DEF的形 ...
葛和答：锐角三角形 ∠DEF=90°-1/2∠A ∠EDF=90°-1/2∠B ∠EFD=90°-1/2∠C 都是锐角，所以是锐角三角形

13943749657：如图,圆O是三角形ABC的内切圆,D,E,F为切点,角DOE等于120度,角EOF等于15...
葛和答：∵BD、BE是⊙的切线，∴∠BDO=∠BEO=90°，∴∠B=360°-2×90°-120°=60°，同理：∠C=30°，∴∠A=180°-∠B-∠C=90°。(注：没有图形，可能字母对应不 ，但原理是一样的)。