如图，O,D,E,F是三角形ABC外接圆上的点，证明O是三角形DEF的重心，即BE,AD,CF分别是三角形DEF的三条中线

你的题目翻译问题比较大，你应该核实一下题意再做！

题目原意应是：

O是△ABC内心，D、E、F是△ABC的三个旁心，求证O是△DEF的垂心。

证明：

先看上图，是一个半角模型，△ABC，如果BD是∠ABC的平分线，CD是∠ACB的外角平分线

那么有∠D=½∠A

理由：∠2=½∠ACE=½(∠A+∠ACB)=½∠A+½∠ABC

同时∠2=∠D+∠1, ∠1=½∠ABC

∴∠D=½∠A

再看下图,同理可得:

∠3=½∠ABC

∠4=½∠BAC

∠5=½∠ACB

∴∠3+∠4+∠5=½(∠ABC+∠BAC+∠ACB)=½×180°=90°

∴∠DAE=90°,即DA⊥FE

同理可证FC⊥DE,EB⊥FD

∴O为△DEF的垂心.

∵△ABD是等边三角形（已知） ∴AB=BC，∠B=∠C=60°（等边三角形的意义） ∵AD=BE（已知） ∴BA-AD=BC-BE 即BE=CE（等式性质）又∵∠DEF+∠FEC=∠BDE+∠B（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和） 且∠DEF=∠B=60°（已知） 所以∠FEC=∠BDE（等量代换） 在△BEE和△FEC中， ∠FEC=∠BDE BD=CE ∠B=∠C ∴∠DBE≌△EFC（A.S.A） 所以BE=FC（全等三角形的对应角相等） 得AD=CF（等量代换）

先送上2B解答：不妨设AD=BF=EC=0，于是……
文艺解答:
LZ不妨把图片忘掉，根据已知条件自己再画一个图，你会发现可以画出不止一种情况，因此用初中生那套正面证明是行不通的。
反证法：
1. 首先假设ABC是等腰三角形, AB=AC, AB!=BC.
BE=CF, 角ABC=角ACB, DB!=CE -> DE!=CF.
与DEF是等边三角形矛盾.
2. 假设ABC是三边不等. AB>BC>AC.
故有角ACB>角BAC>角ABC.
AD=BE=CF -> BD>EC>FA.
对于三角形FCE和ADF，
角ACB>角BAC, EC>FA, AD=FC -> FE>DF
与DEF等边矛盾。
故ABC只能是等边三角形。

19239525235：已知如图,圆O内切于三角形ABC,切点为D、E、F、角B=120度,AB=3,AC=...
满券答：连接OD、OE、OF、OA、OB、OC ∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC 由已知得S△ABC=1/2AB*BC*sin∠B=15√3/4 而S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC =1/2AB*r+1/2BC*r+1/2AC*r =1/2(AB+BC+AC)*r=15r/2 ∴15√3/4=15r/2 即r=√3/2 ...

19239525235：如图,在三角形ABC中,CD垂直AB,DE垂直AC,DF垂直AC,垂足分别为D,E,F,
满券答：线段OC、OF、OE、OD成比例的。证明：因为 CD垂直于AB，DF垂直于BC，所以 三角形CDF相似于三角形BCD，所以 CE/CD=CD/CB，即：CD平方=CEXCB，同理可得： CD平方=CFXCA，所以 CEXCB=CFXCA，所以 CE/CA=CF/CB，又因为 角ECF=角ACB，所以 三角形CEF相似于三角形CAB，...

19239525235：如图,点D、E、F分别在三角形ABC的边上,BD=2DC,CE=2EA………各路神仙想 ...
满券答：先证明 三角形 ABC与三角形MNP相似，再利用“两三角形相似,则两三角形面积比等于边长比的平方.”来计算MNP三角形的面积。

19239525235：如图,圆o是三角形abc的内切圆,d,e,f为切点,ab等于12厘米
满券答：解：根据切线长相等，设AE=AF=X，AD=AF=Y，CD=CE=Z，得方程组：{X+Y=12 {X+Z=18，{Y+Z=14，三个方程相加 的和除以2得：X+Y+Z=22，∴X=8，Y=4，Z=10，即AE=8，BF=4，CD=10。

19239525235：已知O是三角形ABC外心,点D,E,F分别在线段BC,AC,AB上,使得DE⊥CO,DF⊥B...
满券答：下面看BF和CE是什么值，其实三角形BDF和三角形ABC和三角形CDE都是相似的，这个稍微算算内角的值就可以得出这个结论。举例，因为DF⊥BO，而O是ABC外心，所以∠BDF=90-∠DBO=90-(180-∠BOC)/2=90-(180-2∠A)/2=∠A。所以由于角度关系，三角形BDF和三角形ABC就相似咯。同理，三角形CDE和三角...

19239525235：如图,在三角形ABC中,点D,E,F分别是AB,AC,BC边上的点,如果EF平行于AB,且...
满券答：∠3=∠C 证明：因为∠1=∠B （已知）所以DE‖BC（同位角相等，两直线平行）所以∠2=∠C（两直线平行，同位角相等）所以∠1=∠2=∠B=∠C 又因为EF‖AB（已知）所以∠3=∠B（同位角相等，两直线平行）所以∠3=∠C（等量代换）

19239525235：如图,三角形ABC是等边三角形,点D、E、F分别在AB、BC、CA的延长线上...
满券答：解答：∵△ABC是等边△，∴AB=BC=CA，各个内角=60°，∴每一个外角=120°，又BD=CE=AF ,∴AD =BE=CF ,∴△FAD≌△DBE≌△ECF﹙SAS﹚,∴FD=DE=EF,∴△FDE是等边△

19239525235：如图,圆O是Rt三角形ABC的内切圆D、E、F分别是切点,∠ABC=90°,∠BOC=...
满券答：角A为50度 角ABC为九十度 角C为四十度 问题提清楚再说

19239525235：如图,d,e是三角形abc中bc边的三等分点,f是ac的中点,ad与ef交于o,求o...
满券答：解：连结DF,根据题意有，CD=DE,CF=AF,所以DF是△ACE的中位线，所以DF=1/2 AE 且△DEO∽△AOE，所以of/oe=DF/AE=1/2

19239525235：如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点
满券答：（1）证明：∵⊿ABC是等边三角形 ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60º∵AD=BE=CF ∴AB-AD=BC-BE=AC-CF 即BD=CE=AF 在⊿ADF和⊿BDE中 AD=BE，∠A=∠B，AF=BD ∴⊿ADF≌⊿BED（SAS）∴DF=DE 同理：⊿ADF≌⊿CFE ∴DF=EF ∴DF=EF=DE ∴⊿DEF是等边三角形 （2）∵⊿DEF是...