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16.1 压杆稳定性的概念
在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。
当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷Fs (或抗压强度载荷Fb)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于Fs (或Fb)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。
图16－1
失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图16-3
所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。
第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。
第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。
第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。
图16-5
图16-6
通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于直线平衡状态的压杆偏离原有的位置，如图16-6a所示。当轴向压力F由小变大的过程中，可以观察到：
1)当压力值F1较小时，给其一横向干扰力，杆件偏离原来的平衡位置。若去掉横向干扰力后，压杆将在直线平衡位置左右摆动，最终将恢复到原来的直线平衡位置，如图16-6b所示。所以，该杆原有直线平衡状态是稳定平衡。
2)当压力值F2超过其一限度Fcr时，平衡状态的性质发生了质变。这时，只要有一轻微的横向干扰，压杆就会继续弯曲，不再恢复原状，如图16-6d所示。因此，该杆原有直线平衡状态是不稳定平衡。
3)界于前二者之间，存在着一种临界状态。当压力值正好等于Fcr时，一旦去掉横向干扰力，压杆将在微弯状态下达到新的平衡，既不恢复原状，也不再继续弯曲，如图16-6c所示。因此，该杆原有直线平衡状态是随遇平衡，该状态又称为临界状态。
临界状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。压杆处于临界状态时的轴向压力称为临界力或临界载荷，用Fcr表示。
由上述可知，压杆的原有直线平衡状态是否稳定，与所受轴向压力大小有关。当轴向压力达到临界力时，压杆即向失稳过渡。所以，对于压杆稳定性的研究，关键在于确定压杆的临界力。
16.2 两端铰支细长压杆的临界力
图16-7a为一两端为球形铰支的细长压杆，现推导其临界力公式。
图16-7
根据前节的讨论，轴向压力到达临界力时，压杆的直线平衡状态将由稳定转变为不稳定。在微小横向干扰力解除后，它将在微弯状态下保持平衡。因此，可以认为能够保持压杆在微弯状态下平衡的最小轴向压力，即为临界力。
选取坐标系如图l6-7a所示，假想沿任意截面将压杆截开，保留部分如图16-7b所示。由保留部分的平衡得
(a)
在式(a)中，轴向压力Fcr取绝对值。这样，在图示的坐标系中弯矩与挠度的符号总相反，故式(a)中加了一个负号。当杆内应力不超过材料比例极限时，根据挠曲线近似微分方程有
(b)
由于两端是球铰支座，它对端截面在任何方向的转角都没有限制。因而，杆件的微小弯曲变形一定发生于抗弯能力最弱的纵向平面内，所以上式中的I应该是横截面的最小惯性矩。令
(c)
式（b）可改写为
(d)
此微分方程的通解为
(e)
式中、为积分常数。由压杆两端铰支这一边界条件
， (f)
， (g)
将式(f)代入式(e)，得，于是
(h)
式(g)代入式(h)，有
(i)
在式(i)中，积分常数不能等于零，否则将使有，这意味着压杆处于直线平衡状态，与事先假设压杆处于微弯状态相矛盾，所以只能有
(j)
由式(j)解得
(k)
则
或
(l)
因为n可取0，1，2，…中任一个整数，所以式(1)表明，使压杆保持曲线形态平衡的压力，在理论上是多值的。而这些压力中，使压杆保持微小弯曲的最小压力，才是临界力。取n=0，没有意义，只能取n=1。于是得两端铰支细长压杆临界力公式
(16-1)
式(16-1)又称为欧拉公式。
在此临界力作用下，，则式(h)可写成
(m)
可见，两端铰支细长压杆在临界力作用下处于微弯状态时的挠曲线是条半波正弦曲线。将代入式(m)，可得压杆跨长中点处挠度，即压杆的最大挠度
是任意微小位移值。之所以没有一个确定值，是因为式(b)中采用了挠曲线的近似微分方程式。如果采用挠曲线的精确微分方程式，那么值便可以确定。这时可得到最大挠度与压力F之间的理论关系，如图16-8的OAB曲线。此曲线表明，当压力小于临界力时, F与之间的关系是直线OA，说明压杆一直保持直线平衡状态。当压力超过临界力时，压杆挠度急剧增加。
图 16-8
在以上讨论中，假设压杆轴线是理想直线，压力F是轴向压力，压杆材料均匀连续。这是一种理想情况，称为理想压杆。但工程实际中的压杆并非如此。压杆的轴线难以避免有一些初弯曲，压力也无法保证没有偏心，材料也经常有不均匀或存在缺陷的情况。实际压杆的这些与理想压杆不符的因素，就相当于作用在杆件上的压力有一个微小的偏心距e。试验结果表明，实际压杆的F与的关系如图16-8中的曲线OD表示，偏心距愈小，曲线OD愈靠近OAB。
16.3 不同杆端约束细长压杆的临界力
压杆临界力公式(16-1)是在两端铰支的情况下推导出来的。由推导过程可知，临界力与约束有关。约束条件不同，压杆的临界力也不相同，即杆端的约束对临界力有影响。但是，不论杆端具有怎样的约束条件，都可以仿照两端铰支临界力的推导方法求得其相应的临界力计算公式，这里不详细讨论，仅用类比的方法导出几种常见约束条件下压杆的临界力计算公式。
16.3.1 一端固定另一端自由细长压杆的临界力
图16-9为—端固定另一端自由的压杆。当压杆处于临界状态时，它在曲线形式下保持平衡。将挠曲线AB对称于固定端A向下延长，如图中假想线所示。延长后挠曲线是一条半波正弦曲线，与本章第二节中两端铰支细长压杆的挠曲线一样。所以，对于—端固定另一端自由且长为的压杆，其临界力等于两端铰支长为的压杆的临界力，即
图16-9 图16-10 图16-11
16.3.2两端固定细长压杆的临界力
在这种杆端约束条件下，挠曲线如图16-10所示。该曲线的两个拐点C和D分别在距上、下端为处。居于中间的长度内，挠曲续是半波正弦曲线。所以，对于两端固定且长为的压杆，其临界力等于两端铰支长为的压杆的临界力，即
16.3.3 一端固定另一端铰支细长压杆的临界力
在这种杆端约束条件下，挠曲线形状如图16-11所示。在距铰支端B为处，该曲线有一个拐点C。因此，在长度内，挠曲线是一条半波正弦曲线。所以，对于一端固定另一端铰支且长为的压杆，其临界力等于两端铰支长为的压杆的临界力，即
综上所述，只要引入相当长度的概念，将压杆的实际长度转化为相当长度，便可将任何杆端约束条件的临界力统一写
(16-2)
称为欧拉公式的一般形式。由式(16-2)可见，杆端约束对临界力的影响表现在系数上。称为长度系数，为压杆的相当长度，表示把长为的压杆折算成两端铰支压杆后的长度。几种常见约束情况下的长度系数列入表16-1中。
表 16-1 压杆的长度系数
压杆的约束条件 长度系数
两端铰支
一端固定，另一端自由
两端固定
一端固定，另一端铰支 =1
=2
=1/2
≈0.7
表16-1中所列的只是几种典型情况，实际问题中压杆的约束情况可能更复杂，对于这些复杂约束的长度系数可以从有关设计手册中查得。
16.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
16.4.1 临界应力和柔度
将式(16-2)的两端同时除以压杆横截面面积A，得到的应力称为压杆的临界应力，
(a)
引入截面的惯性半径
(16-3)
将上式代入式(a)，得
若令
(16-4)
则有
(16-5)
式(16-5)就是计算压杆临界应力的公式，是欧拉公式的另一表达形式。式中，称为压杆的柔度或长细比，它集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。从式(16-5)可以看出，压杆的临界应力与柔度的平方成反比，柔度越大，则压杆的临界应力越低，压杆越容易失稳。因此，在压杆稳定问题中，柔度是一个很重要的参数。
16.4.2 欧拉公式的适用范围
在推导欧拉公式时，曾使用了弯曲时挠曲线近似微分方程式，而这个方程是建立在材料服从虎克定律基础上的。试验已证实，当临界应力不超过材树比例极限时，由欧拉公式得到的理论曲线与试验曲线十分相符，而当临界应力超过时，两条曲线随着柔度减小相差得越来越大(如图16-12所示)。这说明欧拉公式只有在临界应力不超过材料比例极限时才适用，即
图16-12
或 (b)
若用表示对应于临界应力等于比例极限时的柔度值，则
（16-6）
仅与压杆材料的弹性模量E和比例极限有关。例如，对于常用的Q235钢，E＝200GPa，＝200MPa，代入式(16-6)，得
从以上分析可以看出：当时，，这时才能应用欧拉公式来计算压杆的临界力或临界应力。满足的压杆称为细长杆或大柔度杆。
16.4.3 中柔度压杆的临界应力公式
在工程中常用的压杆，其柔度往往小于。实验结果表明，这种压杆丧失承载能力的原因仍然是失稳。但此时临界应力已大于材料的比例极限，欧拉公式已不适用，这是超过材料比例极限压杆的稳定问题。对于这类失稳问题，曾进行过许多理论和实验研究工作，得出理论分析的结果。但工程中对这类压杆的技算，一般使用以试验结果为依据的经验公式。在这里我们介绍两种经常使用的经验公式：直线公式和抛物线公式。
直线公式
把临界应力与压杆的柔度表示成如下的线性关系。
(16-7)
式中a、b是与材料性质有关的系数,可以查相关手册得到。由式(16-7)可见，临界应力随着柔度的减小而增大。
必须指出，直线公式虽然是以的压杆建立的，但绝不能认为凡是的压杆都可以应用直线公式。因为当值很小时，按直线公式求得的临界应力较高，可能早已超过了材料的屈服强度或抗压强度，这是杆件强度条件所不允许的。因此，只有在临界应力 不超过屈服强度 (或抗压强度)时，直线公式才能适用。若以塑性材料为例，它的应用条件可表示为
或
若用表示对应于时的柔度值，则
(16-8)
这里，柔度值是直线公式成立时压杆柔度的最小值，它仅与材料有关。对Q235钢来说，MPa，=304MPa，。将这些数值代入式(16-8)，得
当压杆的柔度值满足条件时，临界应力用直线公式计算，这样的压杆被称为中柔度杆或中长杆。
抛物线公式
把临界应力与柔度的关系表示为如下形式
(16-9)
式中是材料的屈服强度，是与材料性质有关的系数，是欧拉公式与抛物线公式适用范围的分界柔度，对低碳钢和低锰钢
(16-10)
16.4.4 小柔度压杆
当压杆的柔度满足条件时，这样的压杆称为小柔度杆或短粗杆。实验证明，小柔度杆主要是由于应力达到材料的屈服强度(或抗压强度)而发生破坏，破坏时很难观察到失稳现象。这说明小柔度杆是由于强度不足而引起破坏的，应当以材料的屈服强度或抗压强度作为极限应力，这属于第二章所研究的受压直杆的强度计算问题。若形式上也作为稳定问题来考虑，则可将材料的屈服强度 (或抗压强度)看作临界应力，即
（或）
16.4.5 临界应力总图
综上所述，压杆的临界应力随着压杆柔度变化情况可用图16-13的曲线表示，该曲线是采用直线公式的临界应力总图，总图说明如下：
图16-13
1)当时，是细长杆，存在材料比例极限内的稳定性问题，临界应力用欧拉公式计算。
2)当（或）<时，是中长杆，存在超过比例极限的稳定问题，临界应力用直线公式计算。
3)当（或）时，是短粗杆，不存在稳定性问题，只有强度问题，临界应力就是屈服强度或抗压强度。
由图16-13还可以看到，随着柔度的增大，压杆的破坏性质由强度破坏逐渐向失稳破坏转化。
由式(16-5)和式(16-9)，可以绘出采用抛物线公式时的临界应力总图，如图16-14所示。
图16-14
16.5 压杆稳定性计算
从上节可知，对于不同柔度的压杆总可以计算出它的临界应力，将临界应力乘以压杆横截面面积，就得到临界力。值得注意的是，因为临界力是由压杆整体变形决定的，局部削弱(如开孔、槽等)对杆件整体变形影响很小，所以计算临界应力或临界力时可采用未削弱前的横截面面积A和惯性矩I。
压杆的临界力与压杆实际承受的轴向压力F之比值，为压杆的工作安全系数n，它应该不小于规定的稳定安全系数nst 。因此压杆的稳定性条件为
(16-11)
由稳定性条件便可对压杆稳定性进行计算，在工程中主要是稳定性校核。通常,nst规定得比强度安全系数高，原因是一些难以避免的因素(例如压杆的初弯曲、材料不均匀、压力偏心以及支座缺陷等)对压杆稳定性影响远远超过对强度的影响。
式(16-11)是用安全系数形式表示的稳定性条件，在工程中还可以用应力形式表示稳定性条件
(a)
其中
(b)
式中为稳定许用应力。由于临界应力随压杆的柔度而变，而且对不同柔度的压杆又规定不同的稳定安全系数nst ，所以，是柔度的函数。在某些结构设计中，常常把材料的强度许用应力乘以一个小于1的系数作为稳定许用应力，即
(c)
式中称为折减系数。因为是柔度的函数，所以也是的函数，且总有。几种常用材料压杆的折减系数列于表16-3中，引入折减系数后，式(a)可写为
(16-12)
例16-1 图16-15为—用20a工字钢制成的压杆，材料为Q235钢，E=200Mpa，=200MPa，压杆长度=5m，F=200kN 。若nst=2，试校核压杆的稳定性。
图16-15
解
(1)计算
由附录中的型钢表查得
，，A=35.5cm2。压杆在i最小的纵向平面内抗弯刚度最小，柔度最大，临界应力将最小。因而压杆失稳一定发生在压杆的纵向平面内
(2)计算临界应力，校核稳定性
因为，此压杆属细长杆，要用欧拉公式来计算临界应力
所以此压杆稳定。
例16-2 如图16-16所示连杆，材料为Q235钢，其E=200MPa，=200MPa，，承受轴向压力F=110kN。若nst=3，试校核连杆的稳定性。
图16-16
解 根据图16-16中连杆端部约束情况，在xy纵向平面内可视为两端铰支；在xz平面内可视为两端固定约束。又因压杆为矩形截面，所以。
根据上面的分析，首先应分别算出杆件在两个平面内的柔度，以判断此杆将在哪个平面内失稳，然后再根据柔度值选用相应的公式来计算临界力。
计算
在xy纵向平面内，，z轴为中性轴
在xz纵向平面内，，y轴为中性轴
，。连杆若失稳必发生在xz纵向平面内。
计算临界力，校核稳定性
,该连杆不属细长杆，不能用欧拉公式计算其临界力。这里采用直线公式，查表16-2，Q235钢的,
，属中等杆，因此
该连杆稳定。
例16-3 螺旋千斤顶如图16-17所示。起重丝杠内径，最大长度。材料为Q235钢，E=200GPa，，千斤顶起重量F =100kN。若nst＝3.5，试校核丝杠的稳定性。
图16-17
解
(1) 计算
丝杠可简化为下端固定，上端自由的压杆
(2)计算，校核稳定性
，采用抛物线公式计算临界应力
千斤顶的丝杠稳定。
例16-4 某液压缸活塞杆承受轴向压力作用。已知活塞直径，油压。活塞杆长度，两端视为铰支，材料为碳钢，，E=210GPa。取，试设计活塞直径。
解
(1) 计算
活塞杆承受的轴向压力
活塞杆工作时不失稳所应具有的临界力值为
设计活塞杆直径
因为直径未知，无法求出活塞杆的柔度，不能判定用怎样的公式计算临界力。为此，在计算时可先按欧拉公式计算活塞杆直径，然后再检查是否满足欧拉公式的条件
可取，然后检查是否满足欧拉公式的条件
由于，所以用欧拉公式计算是正确的。
例16-5 简易吊车摇臂如图16-18所示，两端铰接的AB杆由钢管制成，材料为Q235钢，其强度许用应力，试校核AB杆的稳定性。
图16-18
解
(1) 求AB杆所受轴向压力，由平衡方程
，
得
(2) 计算
校核稳定性
据，查表16-3得折减系数,稳定许用应力
AB杆工作应力
,所以AB杆稳定。
例16－6 由压杆挠曲线的微分方程，导出一端固定，另一端铰支压杆的欧拉公式。
解
一端固定、另一端铰支的压杆失稳后，计算简图如图16-19所示。为使杆件平衡，上端铰支座应有横向反力。于是挠曲线的微分方程为
图16－19
设，则上式可写为
以上微分方程的通解为
由此求出v的一阶导数为
压杆的边界条件为
时，
时，
把以上边界条件代入及中，可得
这是关于,和的齐次线性方程组。因为,和不能都为零，所以其系数行列式应等于零，即
展开得
上式超越方程可用图解法求解。以为横坐标，作直线和曲线（图16－20），其第一个交点得横坐标＝4.49显然是满足超越方程得最小根。由此求得
图16－20
16.6 提高压杆稳定性的措施
通过以上讨论可知，影响压杆稳定性的因素有：压杆的截面形状，压杆的长度、约束条件和材料的性质等。因而，当讨论如何提高压杆的稳定件时，也应从这几方面入手。
1．选择合理截面形状
从欧拉公式可知，截面的惯性I越大，临界力越高。从经验公式可知。柔度越小，临界应力越高。由于，所以提高惯性半径i的数值就能减小的数值。可见，在不增加压杆横截面面积的前提下，应尽可能把材料放在离截面形心较远处，以取得较大的I和i，提高临界压力。例如空心圆环截面要比实心圆截面合理
如果压杆在过其主轴的两个纵向平面约束条件相同或相差不大，那么应采用圆形或正多边形截面；若约束不同，应采用对两个主形心轴惯性半径不等的截面形状，例如矩形截面或工字形截面，以使压杆在两个纵向平面内有相近的柔度值。这样，在两个相互垂直的主惯性纵向平面内有接近相同的稳定性。
2．尽量减小压杆长度
由式(16-4)可知，压杆的柔度与压杆的长度成正比。在结构允许的情况下，应尽可能减小压杆的长度；甚至可改变结构布局，将压杆改为拉杆(如图16-21a所示的托架改成图16-21b的形式)等等。
图16-21
3．改善约束条件
从本章第三节的讨论看出，改变压杆的支座条件直接影响临界力的大小。例如长为两端铰支的压杆，其，。若在这一压杆的中点增加一个中间支座或者把两端改为固定端(图16-22)。则相当长度变为，临界力变为
图16-22
可见临界力变为原来的四倍。一般说增加压杆的约束，使其更不容易发生弯曲变形，都可以提高压杆的稳定性。
4．合理选择材料
由欧拉公式(16-5)可知，临界应力与材料的弹性模量E有关。然而，由于各种钢材的弹性模量E大致相等，所以对于细长杆，选用优质钢材或低碳钢并无很大差别。对于中等杆,无论是根据经验公式或理论分析，都说明临界应力与材料的强度有关，优质钢材在—定程度上可以提高临界应力的数值。至于短粗杆，本来就是强度问题，选择优质钢材自然可以提高其强度。
习 题
16-1 图示各根压杆的材料及直径均相同，试判断哪一根最容易失稳，哪一根最不容易失稳。
题16-1图
16-2 图示压杆的材料为Q235钢，在图a平面内弯曲时两端为铰支，在图b平面内弯曲时两端为固定，试求其临界力。
题16-2图
16-3 图中所示为某型飞机起落架中承受轴向压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径D=52mm内径d=44mm，。材料为30CrMnSiNi2A，, , E=210GPa。试求斜撑杆的临界压力和临界应力。
题16-3图
16-4 三根圆截面压杆，直径均为d=160mm，材料为Q235钢，E=200GPa，。两端均为铰支，长度分别、和，且，试求各杆的临界压力。
16-5 无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。杆端承受压力。杆长，横截面直径d=15cm。材料为低合金钢，E=210GPa。两端可简化为铰支座，规定的稳定安全系数为。试求顶杆的许可载荷。
题16-5图 题16-6图
16-6 由三根钢管构成的支架如图所示。钢管的外径为30mm，内径为22mm，长度，E=210GPa。在支架的顶点三杆铰接。若取稳定安全系数，试求许可载荷F。
16-7 在图示铰接杆系ABC中，AB和BC皆为细长压杆，且截面相同，材料相同。若因在ABC平面内失稳而破坏，并现定，试确定F为最大值时的角。
题16-7图
16-8 在图示结构中，AB为圆截面杆，直径d=80mm，BC杆为正方形截面，边长a=70mm，两材料均为Q235钢，E=210GPa。它们可以各自独立发生弯曲而互不影响，已知A端固定，B、C为球铰，l=3m，稳定安全系数。试求此结构的许用载荷。
题16-8图
16-9 万能铣床工作台升降丝杠的内径为22mm，螺距P=5mm。工作台升至最高位置时，。丝杆钢材的E＝210GPa，,。若伞齿轮的传动比为1／2，即手轮旋转一周丝杆旋转半周，且手轮半径为10cm，手轮上作用的最大圆周力为200N，试求丝杆的工作安全系数。
题16-9图 题16-10图
16-10 蒸汽机车的连杆如图所示，截面为工字形，材料为Q235钢。连杆所受最大轴向压力为465kN。连杆在摆动平面(xy平面)内发生弯曲时，两端可认为铰支，在与摆动平面垂直的xz平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。
16-11 某厂自制的简易起重机如图所示，其压杆BD为20号槽钢，材料为Q235钢。起重机的最大起重量是P=40kN。若规定的稳定安全系效为，试校核BD杆的稳定性。
题16-11图 题16-12图
16-12 图示结构中CG为铸铁圆杆，直径d1=100mm，许用压应力=120MPa。BE为Q235钢圆杆，直径d2=50mm，=160MPa，横梁ABCD视为刚体，试求结构的许可载荷。已知E铁＝120GPa，E钢=200GPa。
16-13 图示结构中AB梁可视为刚体，CD及EG均为细长杆，抗弯刚度均为EI。
因变形微小，故可认为压杆受力达到后，其承受能力不能再提高。试求结构所受载荷F的极限值Fmax。
题16-13图
16-14 10号工字梁的C端固定，A端铰支于空心钢管AB上。钢管的内径和外径分别为30mm和40mm，B端亦为铰支。梁及钢管同为Q235钢。当重为300N的重物落于粱的A端时，试校核AB杆的稳定性。规定稳定安全系数。
题16-14图
16-15 两端固定的管道长为2m，内径d=30mm，外径D=40mm。材料为Q235钢，E＝210GPa，线膨胀系数。若安装管道时的温度为，试求不引起管道失稳的最高温度。
16-16 由压杆挠曲线的微分方程式，导出一端固定、另一端自由的压杆的欧拉公式。
16-17 压杆的—端固定，另一端自由(图a)。为提高其稳定性，在中点增加支座，如图b所示。试求加强后压杆的欧拉公式，并与加强前的压杆比较。
题16-17图 题16-18图
16-18 图a为万能机的示意图，四根立柱的长度为。钢材的E=210GPa。立柱丧失稳定后的变形曲线如图b所示。若F的最大值为1000kN，规定的稳定安全系数为，试按稳定条件设计立柱的直径。
材料力学压杆稳定因数φ查表中 最上面一行的123465什么意思~
在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。
当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷Fs (或抗压强度载荷Fb)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于Fs (或Fb)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。
图16－1
失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图16-3
所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。
第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。
第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。
第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。
图16-5
图16-6
通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于直线平衡状态的压杆偏离原有的位置，如图16-6a所示。当轴向压力F由小变大的过程中，可以观察到：
1)当压力值F1较小时，给其一横向干扰力，杆件偏离原来的平衡位置。若去掉横向干扰力后，压杆将在直线平衡位置左右摆动，最终将恢复到原来的直线平衡位置，如图16-6b所示。所以，该杆原有直线平衡状态是稳定平衡。
2)当压力值F2超过其一限度Fcr时，平衡状态的性质发生了质变。这时，只要有一轻微的横向干扰，压杆就会继续弯曲，不再恢复原状，如图16-6d所示。因此，该杆原有直线平衡状态是不稳定平衡。
3)界于前二者之间，存在着一种临界状态。当压力值正好等于Fcr时，一旦去掉横向干扰力，压杆将在微弯状态下达到新的平衡，既不恢复原状，也不再继续弯曲，如图16-6c所示。因此，该杆原有直线平衡状态是随遇平衡，该状态又称为临界状态。
临界状态是杆件从稳定平衡向不稳定平衡转化的极限状态。压杆处于临界状态时的轴向压力称为临界力或临界载荷，用Fcr表示。
由上述可知，压杆的原有直线平衡状态是否稳定，与所受轴向压力大小有关。当轴向压力达到临界力时，压杆即向失稳过渡。所以，对于压杆稳定性的研究，关键在于确定压杆的临界力。
16.2 两端铰支细长压杆的临界力
图16-7a为一两端为球形铰支的细长压杆，现推导其临界力公式。
图16-7
根据前节的讨论，轴向压力到达临界力时，压杆的直线平衡状态将由稳定转变为不稳定。在微小横向干扰力解除后，它将在微弯状态下保持平衡。因此，可以认为能够保持压杆在微弯状态下平衡的最小轴向压力，即为临界力。
选取坐标系如图l6-7a所示，假想沿任意截面将压杆截开，保留部分如图16-7b所示。由保留部分的平衡得
(a)
在式(a)中，轴向压力Fcr取绝对值。这样，在图示的坐标系中弯矩与挠度的符号总相反，故式(a)中加了一个负号。当杆内应力不超过材料比例极限时，根据挠曲线近似微分方程有
(b)
由于两端是球铰支座，它对端截面在任何方向的转角都没有限制。因而，杆件的微小弯曲变形一定发生于抗弯能力最弱的纵向平面内，所以上式中的I应该是横截面的最小惯性矩。令
(c)
式（b）可改写为
(d)
此微分方程的通解为
(e)
式中、为积分常数。由压杆两端铰支这一边界条件
， (f)
， (g)
将式(f)代入式(e)，得，于是
(h)
式(g)代入式(h)，有
(i)
在式(i)中，积分常数不能等于零，否则将使有，这意味着压杆处于直线平衡状态，与事先假设压杆处于微弯状态相矛盾，所以只能有
(j)
由式(j)解得
(k)
则
或
(l)
因为n可取0，1，2，…中任一个整数，所以式(1)表明，使压杆保持曲线形态平衡的压力，在理论上是多值的。而这些压力中，使压杆保持微小弯曲的最小压力，才是临界力。取n=0，没有意义，只能取n=1。于是得两端铰支细长压杆临界力公式
(16-1)
式(16-1)又称为欧拉公式。
在此临界力作用下，，则式(h)可写成
(m)
可见，两端铰支细长压杆在临界力作用下处于微弯状态时的挠曲线是条半波正弦曲线。将代入式(m)，可得压杆跨长中点处挠度，即压杆的最大挠度
是任意微小位移值。之所以没有一个确定值，是因为式(b)中采用了挠曲线的近似微分方程式。如果采用挠曲线的精确微分方程式，那么值便可以确定。这时可得到最大挠度与压力F之间的理论关系，如图16-8的OAB曲线。此曲线表明，当压力小于临界力时, F与之间的关系是直线OA，说明压杆一直保持直线平衡状态。当压力超过临界力时，压杆挠度急剧增加。
图 16-8
在以上讨论中，假设压杆轴线是理想直线，压力F是轴向压力，压杆材料均匀连续。这是一种理想情况，称为理想压杆。但工程实际中的压杆并非如此。压杆的轴线难以避免有一些初弯曲，压力也无法保证没有偏心，材料也经常有不均匀或存在缺陷的情况。实际压杆的这些与理想压杆不符的因素，就相当于作用在杆件上的压力有一个微小的偏心距e。试验结果表明，实际压杆的F与的关系如图16-8中的曲线OD表示，偏心距愈小，曲线OD愈靠近OAB。
16.3 不同杆端约束细长压杆的临界力
压杆临界力公式(16-1)是在两端铰支的情况下推导出来的。由推导过程可知，临界力与约束有关。约束条件不同，压杆的临界力也不相同，即杆端的约束对临界力有影响。但是，不论杆端具有怎样的约束条件，都可以仿照两端铰支临界力的推导方法求得其相应的临界力计算公式，这里不详细讨论，仅用类比的方法导出几种常见约束条件下压杆的临界力计算公式。
16.3.1 一端固定另一端自由细长压杆的临界力
图16-9为—端固定另一端自由的压杆。当压杆处于临界状态时，它在曲线形式下保持平衡。将挠曲线AB对称于固定端A向下延长，如图中假想线所示。延长后挠曲线是一条半波正弦曲线，与本章第二节中两端铰支细长压杆的挠曲线一样。所以，对于—端固定另一端自由且长为的压杆，其临界力等于两端铰支长为的压杆的临界力，即
图16-9 图16-10 图16-11
16.3.2两端固定细长压杆的临界力
在这种杆端约束条件下，挠曲线如图16-10所示。该曲线的两个拐点C和D分别在距上、下端为处。居于中间的长度内，挠曲续是半波正弦曲线。所以，对于两端固定且长为的压杆，其临界力等于两端铰支长为的压杆的临界力，即
16.3.3 一端固定另一端铰支细长压杆的临界力
在这种杆端约束条件下，挠曲线形状如图16-11所示。在距铰支端B为处，该曲线有一个拐点C。因此，在长度内，挠曲线是一条半波正弦曲线。所以，对于一端固定另一端铰支且长为的压杆，其临界力等于两端铰支长为的压杆的临界力，即
综上所述，只要引入相当长度的概念，将压杆的实际长度转化为相当长度，便可将任何杆端约束条件的临界力统一写
(16-2)
称为欧拉公式的一般形式。由式(16-2)可见，杆端约束对临界力的影响表现在系数上。称为长度系数，为压杆的相当长度，表示把长为的压杆折算成两端铰支压杆后的长度。几种常见约束情况下的长度系数列入表16-1中。
表 16-1 压杆的长度系数
压杆的约束条件 长度系数
两端铰支
一端固定，另一端自由
两端固定
一端固定，另一端铰支 =1
=2
=1/2
≈0.7
表16-1中所列的只是几种典型情况，实际问题中压杆的约束情况可能更复杂，对于这些复杂约束的长度系数可以从有关设计手册中查得。
16.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
16.4.1 临界应力和柔度
将式(16-2)的两端同时除以压杆横截面面积A，得到的应力称为压杆的临界应力，
(a)
引入截面的惯性半径
(16-3)
将上式代入式(a)，得
若令
(16-4)
则有
(16-5)
式(16-5)就是计算压杆临界应力的公式，是欧拉公式的另一表达形式。式中，称为压杆的柔度或长细比，它集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响。从式(16-5)可以看出，压杆的临界应力与柔度的平方成反比，柔度越大，则压杆的临界应力越低，压杆越容易失稳。因此，在压杆稳定问题中，柔度是一个很重要的参数。
16.4.2 欧拉公式的适用范围
在推导欧拉公式时，曾使用了弯曲时挠曲线近似微分方程式，而这个方程是建立在材料服从虎克定律基础上的。试验已证实，当临界应力不超过材树比例极限时，由欧拉公式得到的理论曲线与试验曲线十分相符，而当临界应力超过时，两条曲线随着柔度减小相差得越来越大(如图16-12所示)。这说明欧拉公式只有在临界应力不超过材料比例极限时才适用，即
图16-12
或 (b)
若用表示对应于临界应力等于比例极限时的柔度值，则
（16-6）
仅与压杆材料的弹性模量E和比例极限有关。例如，对于常用的Q235钢，E＝200GPa，＝200MPa，代入式(16-6)，得
从以上分析可以看出：当时，，这时才能应用欧拉公式来计算压杆的临界力或临界应力。满足的压杆称为细长杆或大柔度杆。
16.4.3 中柔度压杆的临界应力公式
在工程中常用的压杆，其柔度往往小于。实验结果表明，这种压杆丧失承载能力的原因仍然是失稳。但此时临界应力已大于材料的比例极限，欧拉公式已不适用，这是超过材料比例极限压杆的稳定问题。对于这类失稳问题，曾进行过许多理论和实验研究工作，得出理论分析的结果。但工程中对这类压杆的技算，一般使用以试验结果为依据的经验公式。在这里我们介绍两种经常使用的经验公式：直线公式和抛物线公式。
直线公式
把临界应力与压杆的柔度表示成如下的线性关系。
(16-7)
式中a、b是与材料性质有关的系数,可以查相关手册得到。由式(16-7)可见，临界应力随着柔度的减小而增大。
必须指出，直线公式虽然是以的压杆建立的，但绝不能认为凡是的压杆都可以应用直线公式。因为当值很小时，按直线公式求得的临界应力较高，可能早已超过了材料的屈服强度或抗压强度，这是杆件强度条件所不允许的。因此，只有在临界应力 不超过屈服强度 (或抗压强度)时，直线公式才能适用。若以塑性材料为例，它的应用条件可表示为
或
若用表示对应于时的柔度值，则
(16-8)
这里，柔度值是直线公式成立时压杆柔度的最小值，它仅与材料有关。对Q235钢来说，MPa，=304MPa，。将这些数值代入式(16-8)，得
当压杆的柔度值满足条件时，临界应力用直线公式计算，这样的压杆被称为中柔度杆或中长杆。
抛物线公式
把临界应力与柔度的关系表示为如下形式
(16-9)
式中是材料的屈服强度，是与材料性质有关的系数，是欧拉公式与抛物线公式适用范围的分界柔度，对低碳钢和低锰钢
(16-10)
16.4.4 小柔度压杆
当压杆的柔度满足条件时，这样的压杆称为小柔度杆或短粗杆。实验证明，小柔度杆主要是由于应力达到材料的屈服强度(或抗压强度)而发生破坏，破坏时很难观察到失稳现象。这说明小柔度杆是由于强度不足而引起破坏的，应当以材料的屈服强度或抗压强度作为极限应力，这属于第二章所研究的受压直杆的强度计算问题。若形式上也作为稳定问题来考虑，则可将材料的屈服强度 (或抗压强度)看作临界应力，即
（或）
16.4.5 临界应力总图
综上所述，压杆的临界应力随着压杆柔度变化情况可用图16-13的曲线表示，该曲线是采用直线公式的临界应力总图，总图说明如下：
图16-13
1)当时，是细长杆，存在材料比例极限内的稳定性问题，临界应力用欧拉公式计算。
2)当（或）<时，是中长杆，存在超过比例极限的稳定问题，临界应力用直线公式计算。
3)当（或）时，是短粗杆，不存在稳定性问题，只有强度问题，临界应力就是屈服强度或抗压强度。
由图16-13还可以看到，随着柔度的增大，压杆的破坏性质由强度破坏逐渐向失稳破坏转化。
由式(16-5)和式(16-9)，可以绘出采用抛物线公式时的临界应力总图，如图16-14所示。
图16-14
16.5 压杆稳定性计算
从上节可知，对于不同柔度的压杆总可以计算出它的临界应力，将临界应力乘以压杆横截面面积，就得到临界力。值得注意的是，因为临界力是由压杆整体变形决定的，局部削弱(如开孔、槽等)对杆件整体变形影响很小，所以计算临界应力或临界力时可采用未削弱前的横截面面积A和惯性矩I。
压杆的临界力与压杆实际承受的轴向压力F之比值，为压杆的工作安全系数n，它应该不小于规定的稳定安全系数nst 。因此压杆的稳定性条件为
(16-11)
由稳定性条件便可对压杆稳定性进行计算，在工程中主要是稳定性校核。通常,nst规定得比强度安全系数高，原因是一些难以避免的因素(例如压杆的初弯曲、材料不均匀、压力偏心以及支座缺陷等)对压杆稳定性影响远远超过对强度的影响。
式(16-11)是用安全系数形式表示的稳定性条件，在工程中还可以用应力形式表示稳定性条件
(a)
其中
(b)
式中为稳定许用应力。由于临界应力随压杆的柔度而变，而且对不同柔度的压杆又规定不同的稳定安全系数nst ，所以，是柔度的函数。在某些结构设计中，常常把材料的强度许用应力乘以一个小于1的系数作为稳定许用应力，即
(c)
式中称为折减系数。因为是柔度的函数，所以也是的函数，且总有。几种常用材料压杆的折减系数列于表16-3中，引入折减系数后，式(a)可写为
(16-12)
例16-1 图16-15为—用20a工字钢制成的压杆，材料为Q235钢，E=200Mpa，=200MPa，压杆长度=5m，F=200kN 。若nst=2，试校核压杆的稳定性。
图16-15
解
(1)计算
由附录中的型钢表查得
，，A=35.5cm2。压杆在i最小的纵向平面内抗弯刚度最小，柔度最大，临界应力将最小。因而压杆失稳一定发生在压杆的纵向平面内
(2)计算临界应力，校核稳定性
因为，此压杆属细长杆，要用欧拉公式来计算临界应力
所以此压杆稳定。
例16-2 如图16-16所示连杆，材料为Q235钢，其E=200MPa，=200MPa，，承受轴向压力F=110kN。若nst=3，试校核连杆的稳定性。
图16-16
解 根据图16-16中连杆端部约束情况，在xy纵向平面内可视为两端铰支；在xz平面内可视为两端固定约束。又因压杆为矩形截面，所以。
根据上面的分析，首先应分别算出杆件在两个平面内的柔度，以判断此杆将在哪个平面内失稳，然后再根据柔度值选用相应的公式来计算临界力。
计算
在xy纵向平面内，，z轴为中性轴
在xz纵向平面内，，y轴为中性轴
，。连杆若失稳必发生在xz纵向平面内。
计算临界力，校核稳定性
,该连杆不属细长杆，不能用欧拉公式计算其临界力。这里采用直线公式，查表16-2，Q235钢的,
，属中等杆，因此
该连杆稳定。
例16-3 螺旋千斤顶如图16-17所示。起重丝杠内径，最大长度。材料为Q235钢，E=200GPa，，千斤顶起重量F =100kN。若nst＝3.5，试校核丝杠的稳定性。
图16-17
解
(1) 计算
丝杠可简化为下端固定，上端自由的压杆
(2)计算，校核稳定性
，采用抛物线公式计算临界应力
千斤顶的丝杠稳定。
例16-4 某液压缸活塞杆承受轴向压力作用。已知活塞直径，油压。活塞杆长度，两端视为铰支，材料为碳钢，，E=210GPa。取，试设计活塞直径。
解
(1) 计算
活塞杆承受的轴向压力
活塞杆工作时不失稳所应具有的临界力值为
设计活塞杆直径
因为直径未知，无法求出活塞杆的柔度，不能判定用怎样的公式计算临界力。为此，在计算时可先按欧拉公式计算活塞杆直径，然后再检查是否满足欧拉公式的条件
可取，然后检查是否满足欧拉公式的条件
由于，所以用欧拉公式计算是正确的。
例16-5 简易吊车摇臂如图16-18所示，两端铰接的AB杆由钢管制成，材料为Q235钢，其强度许用应力，试校核AB杆的稳定性。
图16-18
解
(1) 求AB杆所受轴向压力，由平衡方程
，
得
(2) 计算
校核稳定性
据，查表16-3得折减系数,稳定许用应力
AB杆工作应力
,所以AB杆稳定。
例16－6 由压杆挠曲线的微分方程，导出一端固定，另一端铰支压杆的欧拉公式。
解
一端固定、另一端铰支的压杆失稳后，计算简图如图16-19所示。为使杆件平衡，上端铰支座应有横向反力。于是挠曲线的微分方程为
图16－19
设，则上式可写为
以上微分方程的通解为
由此求出v的一阶导数为
压杆的边界条件为
时，
时，
把以上边界条件代入及中，可得
这是关于,和的齐次线性方程组。因为,和不能都为零，所以其系数行列式应等于零，即
展开得
上式超越方程可用图解法求解。以为横坐标，作直线和曲线（图16－20），其第一个交点得横坐标＝4.49显然是满足超越方程得最小根。由此求得
图16－20
16.6 提高压杆稳定性的措施
通过以上讨论可知，影响压杆稳定性的因素有：压杆的截面形状，压杆的长度、约束条件和材料的性质等。因而，当讨论如何提高压杆的稳定件时，也应从这几方面入手。
1．选择合理截面形状
从欧拉公式可知，截面的惯性I越大，临界力越高。从经验公式可知。柔度越小，临界应力越高。由于，所以提高惯性半径i的数值就能减小的数值。可见，在不增加压杆横截面面积的前提下，应尽可能把材料放在离截面形心较远处，以取得较大的I和i，提高临界压力。例如空心圆环截面要比实心圆截面合理
如果压杆在过其主轴的两个纵向平面约束条件相同或相差不大，那么应采用圆形或正多边形截面；若约束不同，应采用对两个主形心轴惯性半径不等的截面形状，例如矩形截面或工字形截面，以使压杆在两个纵向平面内有相近的柔度值。这样，在两个相互垂直的主惯性纵向平面内有接近相同的稳定性。
2．尽量减小压杆长度
由式(16-4)可知，压杆的柔度与压杆的长度成正比。在结构允许的情况下，应尽可能减小压杆的长度；甚至可改变结构布局，将压杆改为拉杆(如图16-21a所示的托架改成图16-21b的形式)等等。
图16-21
3．改善约束条件
从本章第三节的讨论看出，改变压杆的支座条件直接影响临界力的大小。例如长为两端铰支的压杆，其，。若在这一压杆的中点增加一个中间支座或者把两端改为固定端(图16-22)。则相当长度变为，临界力变为
图16-22
可见临界力变为原来的四倍。一般说增加压杆的约束，使其更不容易发生弯曲变形，都可以提高压杆的稳定性。
4．合理选择材料
由欧拉公式(16-5)可知，临界应力与材料的弹性模量E有关。然而，由于各种钢材的弹性模量E大致相等，所以对于细长杆，选用优质钢材或低碳钢并无很大差别。对于中等杆,无论是根据经验公式或理论分析，都说明临界应力与材料的强度有关，优质钢材在—定程度上可以提高临界应力的数值。至于短粗杆，本来就是强度问题，选择优质钢材自然可以提高其强度。
习 题
16-1 图示各根压杆的材料及直径均相同，试判断哪一根最容易失稳，哪一根最不容易失稳。
题16-1图
16-2 图示压杆的材料为Q235钢，在图a平面内弯曲时两端为铰支，在图b平面内弯曲时两端为固定，试求其临界力。
题16-2图
16-3 图中所示为某型飞机起落架中承受轴向压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径D=52mm内径d=44mm，。材料为30CrMnSiNi2A，, , E=210GPa。试求斜撑杆的临界压力和临界应力。
题16-3图
16-4 三根圆截面压杆，直径均为d=160mm，材料为Q235钢，E=200GPa，。两端均为铰支，长度分别、和，且，试求各杆的临界压力。
16-5 无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。杆端承受压力。杆长，横截面直径d=15cm。材料为低合金钢，E=210GPa。两端可简化为铰支座，规定的稳定安全系数为。试求顶杆的许可载荷。
题16-5图 题16-6图
16-6 由三根钢管构成的支架如图所示。钢管的外径为30mm，内径为22mm，长度，E=210GPa。在支架的顶点三杆铰接。若取稳定安全系数，试求许可载荷F。
16-7 在图示铰接杆系ABC中，AB和BC皆为细长压杆，且截面相同，材料相同。若因在ABC平面内失稳而破坏，并现定，试确定F为最大值时的角。
题16-7图
16-8 在图示结构中，AB为圆截面杆，直径d=80mm，BC杆为正方形截面，边长a=70mm，两材料均为Q235钢，E=210GPa。它们可以各自独立发生弯曲而互不影响，已知A端固定，B、C为球铰，l=3m，稳定安全系数。试求此结构的许用载荷。
题16-8图
16-9 万能铣床工作台升降丝杠的内径为22mm，螺距P=5mm。工作台升至最高位置时，。丝杆钢材的E＝210GPa，,。若伞齿轮的传动比为1／2，即手轮旋转一周丝杆旋转半周，且手轮半径为10cm，手轮上作用的最大圆周力为200N，试求丝杆的工作安全系数。
题16-9图 题16-10图
16-10 蒸汽机车的连杆如图所示，截面为工字形，材料为Q235钢。连杆所受最大轴向压力为465kN。连杆在摆动平面(xy平面)内发生弯曲时，两端可认为铰支，在与摆动平面垂直的xz平面内发生弯曲时，两端可认为是固定支座。试确定其工作安全系数。
16-11 某厂自制的简易起重机如图所示，其压杆BD为20号槽钢，材料为Q235钢。起重机的最大起重量是P=40kN。若规定的稳定安全系效为，试校核BD杆的稳定性。
题16-11图 题16-12图
16-12 图示结构中CG为铸铁圆杆，直径d1=100mm，许用压应力=120MPa。BE为Q235钢圆杆，直径d2=50mm，=160MPa，横梁ABCD视为刚体，试求结构的许可载荷。已知E铁＝120GPa，E钢=200GPa。
16-13 图示结构中AB梁可视为刚体，CD及EG均为细长杆，抗弯刚度均为EI。
因变形微小，故可认为压杆受力达到后，其承受能力不能再提高。试求结构所受载荷F的极限值Fmax。
题16-13图
16-14 10号工字梁的C端固定，A端铰支于空心钢管AB上。钢管的内径和外径分别为30mm和40mm，B端亦为铰支。梁及钢管同为Q235钢。当重为300N的重物落于粱的A端时，试校核AB杆的稳定性。规定稳定安全系数。
题16-14图
16-15 两端固定的管道长为2m，内径d=30mm，外径D=40mm。材料为Q235钢，E＝210GPa，线膨胀系数。若安装管道时的温度为，试求不引起管道失稳的最高温度。
16-16 由压杆挠曲线的微分方程式，导出一端固定、另一端自由的压杆的欧拉公式。
16-17 压杆的—端固定，另一端自由(图a)。为提高其稳定性，在中点增加支座，如图b所示。试求加强后压杆的欧拉公式，并与加强前的压杆比较。
题16-17图 题16-18图
16-18 图a为万能机的示意图，四根立柱的长度为。钢材的E=210GPa。立柱丧失稳定后的变形曲线如图b所示。若F的最大值为1000kN，规定的稳定安全系数为，试按稳定条件设计立柱的直径。
材料力学压杆稳定因数φ查表中 最上面一行的123465什么意思~
第一列是λ的整数，第一行是个位数。如：λ=1，稳定系数为1.000；λ=5.0，稳定系数为0.998；λ=11，稳定系数为0.900；λ=12，稳定系数为0.988；λ=218，稳定系数为0.152。
其余不是整数的λ值，插值算出稳定系数。
用什么内插法计算出最终的稳定因数，对细长压杆不能应用上述结论，因为于是得两端铰支细长压杆临界力公式 (16-1) 式(16-1)又称为欧拉公式。
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