当环的一个元素存在逆元时,左(右)逆元是否唯一?

当环的一个元素存在逆元时，左(右)逆元是唯一。

设a，b，c属于A，b是a的左逆元，c是b的左逆元，则有ba=cb=e，b也是a的右逆元，即b是a的逆元，如果b'也是a的逆元，则b'=b'（ab）=（b'a）b=eb=b。

设A={（a0，a1）| ai∈|R }，即A为全体无穷维实向量构成的集合，A关于每个分量的对应加法构成Abel群；考虑A上的自同态全体R=End（A），则R关于映射加法、复合（作为环的乘法）构成幺环，恒等映射id即为R的幺元。

含义

这里的左逆元和右逆元是针对给定运算的某个元素而言的。我们说某个元素有没有逆元素，而不能说某个代数系统有没有逆元素。另外还需要说明：

(1)一个元素可以没有左逆元和右逆元。

(2)一个元素可以只有左逆元。

(3)一个元素可以只有右逆元。

(4)一个元素可以既有左逆元，又有右逆元。

17853524632：无零因子环消去律一定成立吗
融之答：当然了。无左零因子的充要条件是左消去律成立，无右零因子的充要条件是右消去律成立。在环中，无左零因子等价于无零因子等价于无右零因子等价于消去律成立等价于非零元关于乘法成半群

17853524632：...环Z15中所有的乘法可逆元 写出它们的乘法表 并指出它们的逆元...
融之答：可逆元：中括号自己加，这里只写出数字。可逆元需要与15互素即 1，2，4，7，8，11，13，14；其余均为零因子。1、逆为9 8+9=17=0 2、一个本原根为2，参考本原根定义 3、φ函数的值通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，其中p1, p2……pn为...

17853524632：环和群有什么区别?
融之答：例整数集上加法和乘法。 域是一种环，上面的×要满足交换律，除了有＋的单位元还要有×的单位元（二者不等），除了＋的单位元外其他元素都有×的逆元。 例整数集上加法和乘法，单位元0,1。循环群+群生成元：如果存在一个元素a属于G，对任一属于G的元素b，都存在一个整数i>=0，使得b=a^i，...

17853524632：环的性质?
融之答：在环中，还对这些元素定义了另一个类似于乘法的运算，它具有下面两个性质：1.若a和b属于环，那么它们的乘积ab也属于环；2.若a、b和c属于环，那么结合律成立：a(bc)=(ab)c。环的乘法通常不满足交换律（ab=ba 一般不成立），而且并不是环中的每个元素都有一个乘法的逆元。……各种n×n矩阵的...

17853524632：2.14.抽象代数-交换律,单位元,零因子,整环
融之答：环中的核心元素</单位元是环乘法中的关键存在，它赋予了环乘法的逆运算可能性。在环中，如果存在一个元素e，使得ae=ea=a对所有a都成立，那么e就是单位元。不同于加群中的零元，单位元是唯一的，例如整数环中的1，它是单位元的代表。然而，某些环可能没有单位元，例如偶数环，这就突显了环结构的...

17853524632：环论学习(1):环的定义及性质
融之答：在幺环里，可逆元（单位元）的集合 &mathcal{U}</ 关于乘法形成一个群，即单位群 &mathcal{U}(S)</。例如，对于整数环 &mathbb{Z}</，1</ 作为唯一的单位元，其逆元的存在性由群的性质保证。环论的这些基本概念和性质为我们深入探讨更复杂的代数结构铺平了道路。在后续的学习中，我们将...

17853524632：数学中,群、环、域、集分别是什么?它们的范围不同吗?
融之答：有理数，实数，复数。群，环，域都是集合，在这个集合上定义有特定元素和一些运算，这些运算具有一些性质。群上定义一个运算，满足结合律，有单位元（元素和单位元进行运算不变），每个元素有逆元（元素和逆元运算得单位元） 例整数集，加法及结合律，单位元0,逆元是相反数， 正数集，乘法及结合律...

17853524632：如何理解抽象代数中的零因子?
融之答：一个环本质上可以看作是阿贝尔群或者其子群，这是其基本构成单元。当你思考一个非单射的自同态时，其核的存在揭示了零因子的潜在影响。核内的元素不具备乘以a后的逆元，从而形成零因子的条件。Rotman的《高等近世代数》中提供了详细的证明，利用第一同构定理，我们可以看出，核和像之间存在着紧密的...

17853524632：理想的逆元是理想吗?
融之答：介绍 若一个环R中含有一个非零元素e≠θ，使对每个x∈R有ex=xe=x，则e称为R的一个单位元素。一个环若有单位元素，则它必然是唯一的。设R是一个含有单位元素的环，α是R中一个元素，若R中有元素b，使αb=bα=e，则b称为α的一个逆元素。当α有逆元素时，其逆元素必然是唯一的，记为...

17853524632：数学上的群,域,环等有什么区别和联系
融之答：（1）群：在数学中，一个群是由一个集合G和该集合上的一个二元运算“ * ”（通常表示乘法）构成，它满足四个基本条件：封闭性、结合律、存在单位元素（也称为“幺元”）以及每个元素都有逆元。满足这些条件的集合G和运算*一起构成了一个群结构，记作（G，*）。（2）Abel群（交换群）：如果群...