离散数学 设R是集合A上的等价关系，S={<a,b>|c∈A,aRc∧cRb}，证明S是A上的等价 设R是非空集合A上的等价关系,则对任意的两个元素a,b∈A,...

证明一个关系是否是等价关系，只需证明它是否满足三个性质：自反性、对称性、传递性。
现已知R是对称的和传递的，所以只需证明R是否满足自反性即可。
证明：对任意A中的一个元素a，根据条件可知，在A中必存在某个元素b，且使得(a, b)∈R。又由于R是对称的，所以(b, a)∈R。由(a, b)∈R、(b, a)∈R，再根据R是可传递的，得(a, a)∈R。所以R是自反的。
得证。

离散数学中设R是集合A上的等价关系。


R所具有的关系的三个特性是：

对于任意的a∈A，因为R是等价关系，所以aRa，由S的定义可知(a,a>∈S。所以S非空且有自反性。
如果∈S，那么存在c∈A，使得aRc，cRb。因为R是等价关系，有对称性，所以bRc，cRa，由S的定义可知∈S。所以S有对称性。
如果,∈S，那么存在d∈A，使得aRd，dRb。存在e∈A，使得bRe，eRc。因为R是等价关系，有传递性，所以由dRb，bRe，eRc可知dRc。由aRd，dRc以及S的定义可知∈S，所以S有传递性。
所以，S是等价关系。