证明整数模5的同余类(剩余类)对于同余类的加法和乘法运算成为一个环.问这个环含几个元素?这个环是不是域?
它也构成一个域，1，4的乘法逆元分别是它们自己，而2，3互为乘法逆元。
本原元在有限域乘法与乘法逆元计算方面的应用有哪些？~
本原元是指有限域乘法群的生成元，它的阶数是q-1，q是有限域中元素个数。本原元的作用有很多，你问的是在乘法和乘法逆元上计算的用处。下面假设w是一个本原元
首先，有限域F中的任何非零元素a都可以表达成w^m的形式，这是因为有限域的乘法群是一个循环群，而本原元是这个循环群的生成元。这样在计算有限域元素之间乘法的时候，只要将指数相加。具体的说，a=w^m,b=w^n,ab=w^(m+n).
其次，任何一个非零元素a，有上面知道a=w^m,那么a的逆a^(-1)=w^(-m)
本原元还有其他的用处，如分圆多项式，本原多项式，域的扩张等。不过这不是几句话能说清楚的了。
我是学代数的，有问题我们可以再交流。
1、证明：只需证明在模n的剩余类环中，对任意c∈[a],d∈[b],总有
[c+d]=[a+b],[cd]=[ab].
这是因为当c∈[a],d∈[b]时，c≡a(modn),d≡b(modn),所以
c+d≡a+b(modn),cd≡ab(modn)，即证。
2、证明：假设在模n的剩余类环中，[b]与[c]均为[a]的逆元，即
[a][b]=[b][a]=[1],[a][c]=[c][a]=[1]
则[b]=[b][1]=[b]([a][c])=([b][a])[c]=[1][c]=[c].即证.
3、充分必要条件：n=1或n为素数
证明：当n=1时，结论显然成立，当n为素数时，对模n的剩余类中任意非零元[a]。由于[a]=[0]，故a≠0（modp）即p不整除a,再由素数的性质知(a,p)=1，于是存在一对整数s,t,使得as+pt=1此时p|1-as,从而有as=sa≡1(modp)即[a][s]=[s][a]=[1],这表明[a]存在逆元，且[s]为[a]的逆元
相关要点总结：
18460551838：剩余类加群是什么
辛鹏答：是对给定正整数加法构成的群。剩余类加群是对给定正整数n，集合{0，1，……n－1}关于模n加法构成的群。把全体整数按其对模m同余的数归为一类，称为剩余类。
18460551838：如何判断一个整数群是否为模n的剩余类加群?
辛鹏答：1、如mod6的剩余类加群。2、子群首先有两个平凡子群。3、然后考虑 [2] 生成的子群: {[0],[2],[4]}。接着考虑 [3] 生成的子群: {[0],[3]}。[1]和[5]是6阶元, 生成的子群平凡4、注意子群的阶是6的因子 一种重要的群.指整数全体模n后的类,在类的加法运算下所成的群...在Zn...
18460551838：完全剩余系怎么求
辛鹏答：完全剩余系求法从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合。完全剩余系常用于数论中存在性证明。命n为一个自然数，a，b为整数。如果为n的整数倍，则称a，b关于n同余，用同余式mod n记之。否则称a，b关于n不同余，记为mod n。我们称n为同余式的模（modulus）。同余式满足：...
18460551838：模4的剩余类环是什么
辛鹏答：模4的剩余类环是一个数除4后的余数的剩余类环Z/mZ的推广。模4指的是一个数除4后的余数。剩余类环是有理整数环的剩余类环Z/mZ的推广。所以模4的剩余类环是一个数除4后的余数的剩余类环Z/mZ的推广。
18460551838：2~6年级,人教版小学数学的数学广角
辛鹏答：把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类,叫做m的剩余类或同余类,用[0],[1],[2],…,[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数,例如[1]中含有1,m+1,2m+1,3m+1,….在研究与整除有关的问题时,常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理,可以证明:任意n+1个自然数中,总有两个自然数的差是n的倍数。(证明:...
18460551838：模12的剩余类环的特征
辛鹏答：设F，S为普通算术域，且F对S中每一赋值的剩余类域均为有限域，设O为F的S整数环，A，B为O的理想，记N(A)=#(O/A)，称为A的范数，它是积性的，O/A有许多类似于Z/mZ的性质：1.bx≡c(mod A)有解当且仅当(b，A)除尽c，且模A/(b，A)解惟一(式中b，c，x∈O)；2.以Φ(A)记...
18460551838：抽屉原理是什么
辛鹏答：把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类,叫做m的剩余类或同余类,用[0],[1],[2],…,[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数,例如[1]中含有1,m+1,2m+1,3m+1,….在研究与整除有关的问题时,常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理,可以证明:任意n+1个自然数中,总有两个自然数的差是n的倍数。例1 ...
18460551838：模13的剩余类环的特征
辛鹏答：封闭性、存在加法单位元等特征。1、封闭性：对于任意两个整数a和b，a模13加上b模13的结果是模13的剩余类，也就是说剩余类的和仍然在模13的范围内。2、存在加法单位元：存在一个剩余类0，对于任意的剩余类a都有a+0=a。也就是说，剩余类0在模13的加法下起到单位元的作用。
18460551838：一个数论简单问题,刚接触数论,有关剩余类集合的乘法群问题。
辛鹏答：于是 {b[i]*a}=P.而1属于P,故 对于任意a属于P，必存在一个b[i]属于P,使得b[i]*a ==1 mod n 证二：利用辗转相除法，即欧几里德算法(The Euclidean Algorithm)证明。设gcd(a,n)=d，则必存在b,k，使得ab+ nk=d,即存在b<n，使得ab==d mod n 取其特例d=1即证。参考：百度百科-...
18460551838：模6的剩余类环的全部零因子为哪些?
辛鹏答：若I是R的一个零因子，那么零因子的尹子也定是加群R的一个零因子。但加群R是循环群，所以它的子群一定也是循环群,6=1*6=2*3 G1= 1*6=6 G2= 2=1*2 G3=3=1*3 G4=4=2*2 易见，G1,G2，G3，G4都是R的零因子，因而是R的所有零因子。所以模6的剩余类环的全部零因子为1、2...