地下水流问题的数学模型 如何建立地下水流数学模型
要确定一个地下水流问题的数学模型，只有在查明地质、水文地质条件的基础上才有可能。但天然地质体一般比较复杂，且处于不停的变动之中。为了便于解决问题，必须忽略一些和研究问题无关或关系不大的因素，使问题简化。这种对地质、水文地质条件加以概化后所得到的是天然地质体的一个物理模型。再从这个物理模型出发，用简洁的数学语言，即一组数学关系式来刻画它的数量关系和空间形式，从而反映所研究地质体的地质、水文地质条件和地下水运动的基本特征，达到复制或再现一个实际水流系统基本状态的目的。这样建立的一种数学结构便是数学模型。这个过程通常称为建立模型。
数学模型有两类。如果数学关系式中含有一个或多个随机变量的模型称为随机模型。如果数学模型中各变量之间有严格确定的关系，则称为确定性模型。本书主要讨论后者。
用确定性模型来描述实际地下水流时，如前述，必须具备下列条件：（1）有一个（或一组）能描述这类地下水运动规律的偏微分方程；同时，确定了相应渗流区的范围、形状和方程中出现的各种参数值。（2）给出了相应的定解条件。但问题到此并没有完结，因为这时我们对通过上述步骤建立的模型是否能确实代表所研究的地质体还没有把握；模型中出现的参数这时一般也不能确切给出。因此，必须对所建立的模型进行检验，即把模型预测的结果与通过抽水试验或其它试验对含水层施加某种影响后所得到的实际观测结果或一个地区地下水动态长期观测资料进行比较，看两者是否一致。若不一致，就要对模型进行校正，即修正条件（1）和（2），直至满意地拟合为止。这一步骤称为识别模型或校正模型。
经过校正后的模型，能代表所研究的地质体，或者说是实际水流系统的复制品了，因而可以根据需要，用这个模型进行计算或预测，例如预测矿床疏干时的涌水量及地下水污染情况预测等。
此外，模拟实际问题的数学模型还应满足下列基本条件：（1）解（即满足条件1和2的解）是存在的（存在性）；（2）解是唯一的（唯一性）；（3）这个解对原始数据是连续依赖的（稳定性）。要求所提问题的解存在和唯一是不言而喻的。第三个条件，即稳定性的要求，意味着当参数或定解条件发生微小变化时，所引起的解的变化也是很微小的。只有有了这条保证，当参数和定解条件的数据有某些误差时，所求得的解才能仍然接近于真解；否则，解是不可信的，并应该认为此时的数学模型是有毛病的。在实际工作中，原始数据有某种误差，在所难免，所以这个条件很重要。满足上述三个条件的问题称为适定问题，只要有一条不满足就是不适定问题。本书中所述及的问题都是适定的。
下面我们通过几个例子来说明如何用数学模型来描述地下水流问题。
例一 研究区的地质情况如图1—37所示。设W（x，y，t）代表单位时间、单位面积上的垂向补给量，P（x，y，t）为计划开采区单位面积上的抽水流量，试写出它的数学模型。
图1—37 某研究区示意图
（据J.Bear）
边界BC为天然隔水边界。河流切割整个含水层，两者有密切的水力联系。因此，边界AD可以作第一类边界处理。另外，有两个方向没有天然边界，含水层延伸很远，如何处理？一种办法是在远离开采区的、实际上不受该区抽水影响的地段人为地划定一条边界。在该地段根据有关资料选择由若干个有动态观测资料的钻孔组成的连线或选择一条等水头线或流线作为边界。在图1—37中以二条流线（BA和CD）作为边界（事实上其他两种方式可能更好些）。这时计算区就由ABCDA所围的区域组成。边界BA和CD是在假设那里实际上不受抽水影响的前提下人为划定的。显然，这个假设是否有效还要经过检验。另一种方法是在计算结束后把边界移向更远的地方，重复进行计算。如水位降深事实上不怎么受影响，则边界选择是合理的；否则，应把边界移到更远离开采区的地方，直至边界附近水头没有明显影响为止。
根据给出的条件描述这一潜水流的方程应是（1—95）式。渗流区是ABCDA，记为D。边界BA和CD相当于隔水边界。数学模型如下：
地下水动力学（第二版）
式中，H0，f为已知函数，f为不同时刻的河水位；z（x，y）为隔水层标高。
例二 有的河流，由于河底有一弱透水层，河水与地下水没有直接的水力联系，只是通过弱透水层越流补给地下水。这段河流就不能作为第一类边界处理，应作越流项处理。如其它情况假设与例一相似，则方程式应改写为：
地下水动力学（第二版）
如抽水按（1—108）式处理，则去掉（1—120）式左端P这一项，另加边界条件：
地下水动力学（第二版）
上述式中，Kz和dz分别为河底弱透水层的垂向渗透系数和厚度，Hz为作越流项处理的河流的水位，均为已知值；rwj和Qj分别为第j口井的半径和流量；n为井数。
有了数学模型后，如果给定含水层的水文地质参数（T，μ等）和定解条件，就可以求解水头H。这类问题常称为正问题或水头预报问题。如果根据动态观测资料或抽水试验资料反过来确定水文地质参数，那么这一类问题就是前者的逆问题或反求参数问题。
如何建立地下水流数学模型~
数学建模就是通过计算得到的结果来解释实际问题，并接受实际的检验，来建立数学模型的全过程。当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述来建立数学模型。模型准备了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想来包容问题的精髓，数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。要求符合数学理论，符合数学习惯，清晰准确。模型假设根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。模型建立在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。模型求解利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。模型分析对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。模型检验将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。
一、数学模型
根据水文地质概念模型，可将模拟区地下水流视为非均质各向同性的孔隙潜水、孔隙承压水、裂隙－孔隙承压水有越流联系的非稳定流混合模型，可以分别建立四层地下水的数学模型，用越流量将其耦合起来，由此所建立的模型可以看作是准三维的模型。
（一）孔隙潜水含水层的数学模型
松嫩平原地下水资源及其环境问题调查评价
（二）孔隙承压含水层的数学模型
松嫩平原地下水资源及其环境问题调查评价
（三）裂隙－孔隙承压含水层的数学模型
松嫩平原地下水资源及其环境问题调查评价
式中：K为潜水含水层渗透系数，m/d;K1、K2、K3为弱透水层渗透系数，m/d;T为承压含水层导水系数，m2/d；μ、μ＊为潜水含水层给水度、承压含水层弹性释水系数；h、H0、H 为地下水位、潜水水位、承压水水头（高程），m;Z为含水层底板标高，m;Qr为入渗补给强度，m/d;Qd为排泄强度（包括开采），m/d;Qi为大井开采量，m3/d;h。为初始水位，m;h1为一类边界点的水位， m;q为二类边界单宽流量，m2/d;x,y为坐标，m;D为计算区范围；Г1、r2为一类及二类边界；n为边界上的内法线；δ为开采井总数。
上述偏微分方程、初始条件和一类、二类边界条件，共同组成数学模型的定解问题。
二、数学模型的求解
数值模型是采用三维地下水流数值模拟系统GMS（Groundwater Modeling System）软件建立的，该软件是功能比较齐全的地下水模拟软件包之一。其求解方法是在区域D 上采用矩形剖分和线性插值，应用迦辽金有限差分法将上述数学模型离散为有限单元方程组，用以求解。同时应用软件对计算区进行单元自动剖分和数据的自动采集，包括各结点的含水层顶、底板高程、水位等大量数据的自动插值，在确保计算精度的基础上，极大地提高了工作效率。
三、空间与时间离散（一）空间离散
计算区面积为18.3×104m2，采用Modflow进行自动矩形剖分，剖分单元26 542个，每个单元格面积6.75 km2，单元格大小为2.84 km×2.37 km，研究区网格剖分结果见图7—4。
图7—4 地下水模拟计算剖分图
（二）时间离散
模型识别期为2003年10月到2004年5月，模型验证期为2004年5月到2004年10月。在模型识别和验证期内，以一个月为一个时间段，每个时间段包括2个时间步长。
四、初始流场的确定
根据统测资料确定的2003年10月各含水层的初始流场见图7—5至图7—8。在绘制地下水流场时时，根据多年河流动态资料建立了河流水面线方程进行河水位插补计算。具体做法是：
根据收集的水文资料和松嫩平原区的地形图、地下水观测资料，以及根据等高线采集的河流水位数据，建立丰、枯水期江河水位沿程的拟合方程，从而得出各条河流的水位随河长及时间的变化。如根据河流水文站的水文统计年鉴等数据，可以知道河流上几个点的常年水位资料，将采集的河流水位数据录入制成Excel表格，通过其中的绘制图表工具，绘制流量（Q）－时间（t），水位（H）－历时（t），流量（Q）－水位（H），水位（H）－河长（L）的散点图，做出其拟合曲线，并得到回归方程，根据这些方程就可以得到河流任一处，任一时刻的水位（H）及流量（Q），通过检验可知推求的数据是合理可靠的。
图7—5 潜水含水层初始流场图
图7—6 承压水含水层初始流场图
图7—7 泰康组含水层初始流场图
图7—8 大安组含水层初始流场图
五、参数分区及参数初值（一）参数分区
（1）潜水含水层参数分区同水量均衡计算参数分区，全区共分为131个参数区。
（2）第四系承压含水层（第一层承压水）和第一越流层参数分区。
根据弱透水层成因时代、岩性特征、岩石的水理性质、含水层的导水性进行分区，将第四系承压含水层划分为26个参数区，见图7—9。第一越流层划分为15个参数区，见图7—10。
图7—9 第四系承压含水层参数分区
图7—10 第一越流含水层参数分区
（3）泰康组承压含水层（第二层承压水）和第二越流层参数分区见图7—11和图7—12。泰康组承压含水层划分为8个参数区，第二越流层划分为2个参数区。
（4）大安组承压含水层及第三越流各划分为5个参数区，见图7—13和图7—14。
图7—11 泰康组承压水参数分区
图7—12 第二越流层参数分区
图7—13 大安组参数分区图
图7—14 第三越流层参数分区图
（二）参数初值
各含水层与越流层的参数初值是根据以往勘查研究成果与本次勘查成果经过综合分析而确定的，参数初始值见表7—1至表7—3。
表7—1 潜水含水层渗透系数和给水度分区表
续表
表7—2 第四系承压含水层及越流层分区参数
表7—3 新近系承压含水层及越流层分区参数
六、源汇项的处理
潜水含水层主要接受大气降水的入渗补给、侧向补给，河流的渗漏补给和灌溉水的回渗补给。由于潜水面的埋藏较浅，因此潜水的蒸发是其主要的消耗方式，目前，人工开采也是主要排泄方式之一。承压含水层在天然状况下，主要接受潜水含水层的越流补给，人工开采是其主要的消耗方式。不同含水层地下水分层开采量由调查得到，见表7—4。主要城镇地下水供水水源地开采量统计结果见表7—5。其他各项计算公式同水量均衡计算公式，其中越流补给作为研究区第四系孔隙承压水的主要补给源，其数量可由达西定律进行分析：
松嫩平原地下水资源及其环境问题调查评价
式中：Qv为越流量，104m3·d-1;K 为弱透水层垂向渗透系数，m·d-1；ω为越流面积，104m2;HA为含水层A的水头，m;HB为含水层B的水头，m;M为弱透水层厚度，m。
越流量的计算在模型中由计算软件根据上下含水层的水头差、弱透水层的渗透系数和时间自动完成。
表7—4 2004年松嫩平原地下水分层开采量统计表
续表
续表
表7—5 松嫩平原主要城镇地下水供水水源源地开采量统计表
续表
相关要点总结：
15523267966：地下水流基本问题的计算原理
昌应答：2020-01-31 地下水流问题的数学模型 2020-01-31 地下水流问题的解法 2020-02-04 若干地下水流数学模型的解析解 2020-01-31 地下水流数学模型 2014-12-05 对于地下水动力学中的各种公式怎么学习 2020-02-01 地下水流确定性管理 2017-01-27 如何建立地下水流数学模型 2017-10-27 试用地下水流系统的...
15523267966：地下水管理模型
昌应答：在地下水管理工作中,解决每一个问题时都要受到一定条件的约束。它常用决策变量的数学表达式表示,称为约束条件。通常,约束条件不止一个,在线性规划模型中,常用一组决策变量的线性等式或不等式表示。常见的约束条件有: (1)均衡约束:多以地下水流状态方程或联合地下水溶质运移方程作为水均衡约束的等式约束条件。其目的在...
15523267966：水文地质问题与数学模型
昌应答：图15-1 水文地质问题与数学模型的关系 从目前实际应用来看,地下水数学模型主要分为3大类,即解析模型、数值模型和多元统计模型。解析模型是由描述地下水流的微分方程的各种解析解组成,如泰斯公式、裘布依公式等。解析模型仅适用于含水层相对均质,几何形状简单,范围较小和源汇项简单的地下水流问题。在建立地下水解析模...
15523267966：用Dupuit-Theim公式识别含水层参数
昌应答：1）地下水流动符合达西定律并且为径向稳定流动；2）地下水流动是二维承压的；3）含水层均质、各向同性、水平、等厚、导水系数为常数；4）抽水井位于圆形岛状含水层的中心（图2-2）；5）抽水井为完整井。在上述假设条件下，可以写出Dupuit-Theim数学模型：含水层参数识别方法 图2-2 以抽水井为中心...
15523267966：一维地下水流的差分方程
昌应答：这就是数值模型的收敛性。所谓稳定性，是确保前一个时步差分方程求解带来的误差不会在以后的时步中积累。如果误差不断积累，说明数值模型具有发散性，不能向前推演较长的时间。人们已经证明隐式差分格式是无条件收敛和稳定的（张蔚榛，1983；陈崇希等，1990），因此绝大多数地下水流有限差分模型采用隐式...
15523267966：地下水资源模型计算
昌应答：数值模型模拟计算方法适用于非均质性、各向异性的复杂地下水系统,包括存在越流和具有不规则形状各类边界条件等情况。但是该方法对资料的要求比较严格,要求研究程度较高和资料较丰富。应用数值模型方法的一般程式为:①气象、水文、水文地质资料分析→②水文地质概念模型概化→数学模型建立(水动力方程和定解条件)→③选择计...
15523267966：基于矩形网格的地下水流差分方程
昌应答：对于二维平面或剖面的地下水流问题，可以采用基于矩形网格的有限差分模型进行求解。矩形网格一般如图7.2所示，平面范围被正交直线切割成一系列矩形的单元格，每个单元的中心放置一个控制点（格点），水头和含水层的介质参数都定义在格点上。这种处理有限差分模型网格的方法又被称为格点法或块中心法（Block ...
15523267966：承压含水层地下水向完整河渠的稳定流动
昌应答：地下水动力学（第五版）上式代入（3-1-6）式得单宽流量方程 地下水动力学（第五版）从上述数学模型（3-1-1）式～（3-1-3）式的求解得到的水头线方程（3-1-5）式和流量方程（3-1-7）式，是属于一般性的求解方程。然而，对于比较简单的地下水流动问题，也可以用定积分的方法获得，即对微分...
15523267966：具有随机源汇项的地下水流方程
昌应答：现在研究一个如图5.2所示的潜水含水层，建立随机地下水动态的数学模型，除了随机方程（5.67）之外，边界条件如下：地下水运动方程 式中：h0是一个不随时间变化的常数。式（5.68）给出的边界条件是确定性的边界条件。但是，如果h0随时间呈现随机性的变化，它也会影响潜水含水层的地下水动态，本书不...
15523267966：定解问题及叠加原理
昌应答：如果定解问题有解、且只有一个解、又是稳定的，则该定解问题是适定的，否则是不适定的。地下水流的数学模型必须满足适定性才能求解。如果地下水流控制方程采用线性偏微分方程，如承压含水层水流方程（1.26），则这种方程满足二阶线性偏微分方程的叠加原理（见附录1）。设Hi是方程 地下水运动方程 的解...