谁能详解一下函数列与函数项级数的概念，区别与联系 函数项级数与函数序列的一致收敛

函数列：指各项为具有相同定义域的函数的序列

函数项级数：在数学中，一个有穷或无穷的序列的元素的形式和称为级数。序列中的项称作级数的通项。级数的通项可以是实数，矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。

区别：函数列实质就是一列函数，而函数项级数是一列函数的求和。

联系：对函数列的求和就是函数项级数，而把函数项级数的每一项拿出来组成的一列函数，就是函数列。

扩展资料：

函数发展历史：

1，函数的由来

（1）中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。

（2）中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。

2，早期概念

（1）1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿，莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。

（2）1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标，纵坐标，切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。

3，十八世纪

（1）1718年约翰·柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。

（2）1748年，欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。

（3）1755年，欧拉给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”

4，十九世纪

（1）1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。

（2）1822年傅里叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。

（3）等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，奥斯瓦尔德维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。

5，现代概念

（1）1914年豪斯道夫（F Hausdorff）在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”，“对应”概念。库拉托夫斯基（Kuratowski）于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。

（2）1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为f元素x称为自变量，元素y称为因变量”。

函数项级数与函数列的关系可类比数项级数与数列的关系.
函数项级数可以视为函数列的特例, 对应"级数部分和"这个函数列.
反过来, 对任意函数列, 存在唯一的函数项级数, 使函数列为级数的部分和.
因此二者在本质上是一样的.

函数列(或函数项级数)有很多种收敛的概念, 比较基本的是逐点收敛: 即在任意x处收敛.
但是逐点收敛难以保持函数的性质, 例如[0,1]上的连续函数列x^n就逐点收敛到一个不连续的函数.
为此要考虑所谓的一致收敛, 大意是不但在每个x处都收敛, 而且收敛的速度还是一致的.
严格的说就是对任意ε > 0, 存在N, 使|fn(x)-f(x)| N和x成立.
这里一个N同时控制了所有x处的收敛性, 即所谓一致.
对比一下逐点收敛: 对任意ε > 0与x, 存在N, 使|fn(x)-f(x)| N成立.
这里的N是根据ε和x取的, 是可能随x不同而不同的.

所以问题不在于函数列和函数项级数的区别, 而是一致收敛的概念.
(1) 易见对0 ≤ x < 1, fn(x)逐点收敛到0, 但x = 1时, fn(x)收敛到1/2.
由连续函数列的一致收敛极限仍连续, fn(x)不可能为一致收敛.
(2) 由均值不等式, |an(x)| ≤ |nx|/(n^(5/2)|x|) = 1/n^(3/2), 对任意实数x成立.
由∑1/n^(3/2)收敛, 根据Weierstrass判别法, ∑an(x)在全体实数上(绝对)一致收敛.
(3) 部分和∑{0 ≤ k ≤ n} x^k·(1-x) = ∑{0 ≤ k ≤ n} x^k-∑{0 ≤ k ≤ n} x^(k+1)
= ∑{0 ≤ k ≤ n} x^k-∑{1 ≤ k ≤ n+1} x^k = 1-x^(n+1).
对0 ≤ x < 1收敛到1, 而对x = 1收敛到0, 极限函数不连续.
理由同(1), 级数不一致收敛.

为免误解强调一下, 连续函数列一致收敛是极限函数连续的充分非必要条件.
即由极限函数连续不能反过来得到函数列一致收敛.

个人感觉楼主对一致收敛的概念还比较陌生, 也许难以理解上面的证明过程.
建议再好好看看教材, 看几个不一致收敛的例子, 掌握一致收敛的性质和几个基本的判别法.
再回来看这几道题就很容易了.

函数列和函数项级数是可以互化的，所以研究清楚一种一致收敛另一种也就清楚了。

18374749761：部分和函数列与和函数有什么区别
乜贷答：所有的收敛点构成了收敛域，并且对于收敛域中不同的x0，都有一个级数的和∑fn(x0)对应，用这种对应关系构成的函数就叫做和函数。函数列收敛到极限函数，不是和函数，只有函数项级数才有和函数的说法。但也不是所有的函数项级数都可以一致收敛到和函数，例如fn(x)=x^n，在[0，1)上收敛到f(x)=...

18374749761：函数极限与数列极限的关系
乜贷答：数列极限和函数极限的概念？问：有什么联系啊 答：设 {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣ === 函数f（x）的自变量是x为常数 问：函数f（x）的自变量是x为常数，是否可以把它当成连续函数求导，能否对f...答：看你的问题像是数列的...

18374749761：怎么区别数列和函数?
乜贷答：函数是一个数学表达式，它定义了一个变量或一组变量与另一个或另一组变量的关系。函数与数列的区别在于，函数中的自变量可以是实数、复数或其他数学对象，而数列中的自变量是整数。此外，函数是一种关系，这种关系不一定是有序的，也不需要像数列那样完全由一个整数集合来定义。因此，数列和函数的最大...

18374749761：数列和函数列的区别
乜贷答：数列不是特殊的函数列，所谓列是指按照1,2,3，...的顺序数下去，直至数完整个正整数。数列就是一个一个数按照这个顺序数下去，函数列就是一个一个函数按这个顺序数下去。函数列的x只是属于单个函数。我举一个函数列，比如{1，x，x^2，...}这就是个函数列。

18374749761：如何区分函数极限与数列极限?
乜贷答：关系 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系，从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。在极限论中海涅定理处于重要地位。有了海涅定理之后，有关函数极限...

18374749761：级数的函数
乜贷答：如果级数的每一项依赖于一个连续变量x,un=un(x),x在一个区间α≤x ≤b上变化,这个级数就成为一个函数项级数,简称函数级数,记为这里x的值自然被分成两类C和D,使得当x属于C时级数收敛,当x属于D时级数发散。几何级数∑rn事实上就是一个函数级数,它的收敛范围是一个区间(-1<r<1)。微分学里的泰勒级数代表...

18374749761：数列与函数的关系
乜贷答：2、函数极限和数列极限之间的一个主要区别是连续性。函数极限通常涉及连续性的概念，而数列极限则不需要考虑这一点。但在某些情况下，如数列含有类似1/n的元素时，尽管数列可能是间断的，但其项之间的差值会趋近于无穷小，这使得数列的行为近似于连续。3、无论是函数极限还是数列极限，都适用极限的四则...

18374749761：数列极限的概念
乜贷答：4.套路法：对于一些常见的数列，可以利用一些常用的数列极限套路，如夹逼准则、单调有界原理等，来求解数列极限。四、数列极限的应用 1.数列极限在微积分中的应用：数列极限是微积分中重要的基础概念，它与函数极限的概念紧密相关。数列极限的求解方法为函数极限的计算提供了基础。2.数列极限在概率论中的...

18374749761：大一高数函数的极限讲解
乜贷答：lim┬(n∞)⁡〖a_n = L〗这一定义说明，当数列的项数 n 趋近于无穷大时，数列的值会无限地接近 L。可以理解为，在数列中找到一个位置 N，从该位置开始，数列的值与 L 的差距都可以控制在 ε 的范围内。3.理解极限的定义时，需要注意以下几点：极限是描述趋势的概念，并不关注函数或...

18374749761：数列极限与函数极限的联系是什么?
乜贷答：归结原则即海涅定理，虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。定理二 连续单调递增 （递减）函数的反...